問題は、与えられた数列の極限を求めることです。数列は、以下の6つの場合で与えられています。 (1) $(\frac{1}{3})^n$ (2) $(\frac{4}{3})^n$ (3) $(-\frac{3}{4})^n$ (4) $(-3)^n$ (5) $(\sqrt{2}-1)^n$ (6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の極限を求めることです。数列は、以下の6つの場合で与えられています。

(1) $(\frac{1}{3})^n$

(2) $(\frac{4}{3})^n$

(3) $(-\frac{3}{4})^n$

(4) $(-3)^n$

(5) $(\sqrt{2}-1)^n$

(6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

2. 解き方の手順

数列の極限を求めるには、数列 $\{r^n\}$ の極限に関する以下の事実を利用します。

* $|r| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

* $r = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

* $r > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

* $r \leq -1$ のとき、$\{r^n\}$ は振動し、極限は存在しない。

(1) $\frac{1}{3} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $\frac{4}{3} > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$

(3) $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) $|-3| = 3 > 1$ なので、$(-3)^n$ は振動し、極限は存在しません。

(5) $\sqrt{2}-1 < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{2}-1)^n = 0$

(6) $\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -1-\sqrt{2}$

$|-1-\sqrt{2}| = 1 + \sqrt{2} > 1$ なので、$(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$ は振動し、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) 0

(4) 極限は存在しない

(5) 0

(6) 極限は存在しない