問題は、与えられた双曲線の方程式の漸近線を求め、その概形を描くことです。 (2) $x^2 - 8y^2 = 25$ (3) $4x^2 - 9y^2 = -1$

1. 問題の内容

問題は、与えられた双曲線の方程式の漸近線を求め、その概形を描くことです。

(2) $x^2 - 8y^2 = 25$

(3) $4x^2 - 9y^2 = -1$

2. 解き方の手順

(2) $x^2 - 8y^2 = 25$ の場合：

まず、双曲線の方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 8y^2 = 25$ の両辺を25で割ると、

$\frac{x^2}{25} - \frac{8y^2}{25} = 1$

$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{\frac{25}{8}} = 1$

この双曲線は、$x$軸に沿って開いており、$a^2 = 25$、 $b^2 = \frac{25}{8}$です。したがって、$a=5$、$b=\frac{5}{2\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$です。

漸近線の方程式は、$y = \pm \frac{b}{a}x$で与えられます。

よって、$y = \pm \frac{\frac{5\sqrt{2}}{4}}{5}x = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}x$

(3) $4x^2 - 9y^2 = -1$ の場合：

双曲線の方程式を標準形に変形します。

$4x^2 - 9y^2 = -1$ の両辺を-1で割ると、

$-4x^2 + 9y^2 = 1$

$9y^2 - 4x^2 = 1$

$\frac{y^2}{\frac{1}{9}} - \frac{x^2}{\frac{1}{4}} = 1$

この双曲線は、$y$軸に沿って開いており、$a^2 = \frac{1}{9}$、$b^2 = \frac{1}{4}$です。したがって、$a=\frac{1}{3}$、$b=\frac{1}{2}$です。

漸近線の方程式は、$y = \pm \frac{a}{b}x$で与えられます。

よって、$y = \pm \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}x = \pm \frac{2}{3}x$

3. 最終的な答え

(2) 漸近線の方程式：$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}x$

(3) 漸近線の方程式：$y = \pm \frac{2}{3}x$