与えられた2次方程式が表す図形の種類を判別し、図示せよ。また、漸近線の方程式も求め、図示せよ。 (1) $x^2 - 4y^2 - 4x - 16y - 16 = 0$ (2) $4x^2 - 25y^2 + 24x - 200y - 464 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が表す図形の種類を判別し、図示せよ。また、漸近線の方程式も求め、図示せよ。

(1) $x^2 - 4y^2 - 4x - 16y - 16 = 0$

(2) $4x^2 - 25y^2 + 24x - 200y - 464 = 0$

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 4x - 4(y^2 + 4y) - 16 = 0$

$(x-2)^2 - 4 - 4((y+2)^2 - 4) - 16 = 0$

$(x-2)^2 - 4(y+2)^2 - 4 + 16 - 16 = 0$

$(x-2)^2 - 4(y+2)^2 = 4$

$\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{1} = 1$

これは双曲線を表す。中心は$(2, -2)$。$a=2$, $b=1$。

漸近線は$\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{1} = 0$より、

$\frac{(x-2)}{2} = \pm (y+2)$

$y+2 = \pm \frac{1}{2} (x-2)$

$y = \frac{1}{2}x - 3$と$y = -\frac{1}{2}x - 1$.

(2) 与えられた方程式を平方完成する。

$4x^2 + 24x - 25y^2 - 200y - 464 = 0$

$4(x^2 + 6x) - 25(y^2 + 8y) - 464 = 0$

$4((x+3)^2 - 9) - 25((y+4)^2 - 16) - 464 = 0$

$4(x+3)^2 - 36 - 25(y+4)^2 + 400 - 464 = 0$

$4(x+3)^2 - 25(y+4)^2 = 100$

$\frac{(x+3)^2}{25} - \frac{(y+4)^2}{4} = 1$

これは双曲線を表す。中心は$(-3, -4)$。$a=5$, $b=2$。

漸近線は$\frac{(x+3)^2}{25} - \frac{(y+4)^2}{4} = 0$より、

$\frac{(x+3)}{5} = \pm \frac{(y+4)}{2}$

$y+4 = \pm \frac{2}{5} (x+3)$

$y = \frac{2}{5}x - \frac{14}{5}$と$y = -\frac{2}{5}x - \frac{26}{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{1} = 1$

漸近線: $y = \frac{1}{2}x - 3$と$y = -\frac{1}{2}x - 1$

(2) $\frac{(x+3)^2}{25} - \frac{(y+4)^2}{4} = 1$

漸近線: $y = \frac{2}{5}x - \frac{14}{5}$と$y = -\frac{2}{5}x - \frac{26}{5}$