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与えられた式 $\frac{(a+b)^2 - c^2}{a^2 - (b+c)^2}$ を簡単にせよ。

代数学式の計算因数分解分数式
2025/5/13

1. 問題の内容

与えられた式 (a+b)2−c2a2−(b+c)2\frac{(a+b)^2 - c^2}{a^2 - (b+c)^2} を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。
分子は、差の二乗の公式 x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) を用いると、
(a+b)2−c2=(a+b+c)(a+b−c)(a+b)^2 - c^2 = (a+b+c)(a+b-c)
となります。
次に、分母も同様に差の二乗の公式を用いると、
a2−(b+c)2=(a+(b+c))(a−(b+c))=(a+b+c)(a−b−c)a^2 - (b+c)^2 = (a+(b+c))(a-(b+c)) = (a+b+c)(a-b-c)
となります。
したがって、元の式は
(a+b)2−c2a2−(b+c)2=(a+b+c)(a+b−c)(a+b+c)(a−b−c)\frac{(a+b)^2 - c^2}{a^2 - (b+c)^2} = \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-b-c)}
となります。ここで、a+b+c≠0a+b+c \neq 0 ならば、a+b+ca+b+c で約分できます。
(a+b+c)(a+b−c)(a+b+c)(a−b−c)=a+b−ca−b−c\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-b-c)} = \frac{a+b-c}{a-b-c}

3. 最終的な答え

a+b−ca−b−c\frac{a+b-c}{a-b-c}

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