方程式 $\log_2 x^2 - \log_x 4 + 3 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

方程式 $\log_2 x^2 - \log_x 4 + 3 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を2に統一することを考えます。$\log_x 4$ を底が2の対数で表します。

$\log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x}$

よって、与えられた方程式は、

$\log_2 x^2 - \frac{2}{\log_2 x} + 3 = 0$

$\log_2 x = t$ とおくと、

$2 \log_2 |x| - \frac{2}{t} + 3 = 0$

$x>0$のとき、$2t - \frac{2}{t} + 3 = 0$

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

$(2t-1)(t+2) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -2$

$x<0$のとき、$2(\log_2 (-x)) - \frac{2}{t} + 3 = 0$

$t = \log_2 x$ とおくと

$2 \log_2 (-x) - \frac{2}{\log_2 x} + 3 = 0$

この場合では、$\log_2 x$を定義することができない。

従って、$x>0$の場合だけを考える。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\log_2 x = \frac{1}{2}$ より $x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

$t = -2$ のとき、$\log_2 x = -2$ より $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{2}, \frac{1}{4}$