問題は、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a+b+b^2$

1. 問題の内容

問題は、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a+b+b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ を簡単にします。分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}$

(1) $a$ を求める。

$\sqrt{2}$ は約 1.414 なので、$2+\sqrt{2}$ は約 3.414 です。したがって、整数部分は 3 となります。

$a = 3$

(2) $b$ を求める。

小数部分は、元の数から整数部分を引いたものなので、

$b = (2+\sqrt{2}) - a = (2+\sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2} - 1$

(3) $a+b+b^2$ を求める。

$a = 3$、$b = \sqrt{2} - 1$ を代入します。

$a+b+b^2 = 3 + (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)^2 = 3 + \sqrt{2} - 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 3 + \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2} = 5 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{2} - 1$

(3) $a+b+b^2 = 5 - \sqrt{2}$