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与えられた数列の和を計算します。 $ \sum_{k=1}^{n-1} 3^k $

代数学数列等比数列級数シグマ
2025/5/13

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。
∑k=1n−13k \sum_{k=1}^{n-1} 3^k

2. 解き方の手順

これは初項が33、公比が33の等比数列の和です。
等比数列の和の公式を使用します。
初項をaa、公比をrr、項数をmmとすると、等比数列の和は次のようになります。
Sm=a(rm−1)r−1 S_m = \frac{a(r^m - 1)}{r - 1}
この場合、a=3 a = 3 、r=3 r = 3 、m=n−1 m = n - 1 なので、
Sn−1=3(3n−1−1)3−1 S_{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1}
Sn−1=3(3n−1−1)2 S_{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}

3. 最終的な答え

3(3n−1−1)2 \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}

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