与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は $a$ の二次式と見なすことができます。定数項は$-(b-4)(3b+1)$ です。

まず、定数項を展開します。

$-(b-4)(3b+1) = -(3b^2 + b - 12b - 4) = -(3b^2 - 11b - 4) = -3b^2 + 11b + 4$

次に、与えられた式全体を書き出します。

$a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1) = a^2 + (2b+5)a - 3b^2 + 11b + 4$

因数分解の形を $(a + A)(a + B)$ とおくと、$A+B = 2b+5$ かつ $AB = -3b^2 + 11b + 4$ となる $A$ と $B$ を見つける必要があります。

$-3b^2 + 11b + 4$ を因数分解することを考えます。これは、$-(3b+1)(b-4)$ と等しいです。

$3b+1$と$-(b-4)$ または $b-4$と$-(3b+1)$ の組み合わせを考えます。

この問題の場合、$A = 3b+1$ , $B = -(b-4) = -b+4$とすると、

$A + B = 3b+1 -b+4 = 2b+5$となり、これは$a$の係数と一致します。

$AB = (3b+1)(-b+4) = -3b^2+12b-b+4 = -3b^2+11b+4$となり、これは定数項と一致します。

したがって、因数分解は次のようになります。

$a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1) = (a + 3b + 1)(a - b + 4)$

3. 最終的な答え

$(a+3b+1)(a-b+4)$