以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を $2^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{2^n} \to 0$ かつ $\frac{3}{2^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$

(2) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{4}{3^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$ かつ $\frac{4}{3^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{4}{3^n}} = \frac{0}{1 - 0} = 0$

(3) 分母と分子を $4^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{(\frac{3}{4})^n + \frac{5}{4^n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{4^n} \to 0$ かつ $(\frac{3}{4})^n \to 0$ かつ $\frac{5}{4^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{(\frac{3}{4})^n + \frac{5}{4^n}} = \frac{1-0}{0+0} = \frac{1}{0}$

これは$\infty$に発散します。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 0

(3) $\infty$