与えられた3つの数列の極限を求める問題です。 (1) $n^2 - n$ (2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$ (3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限を求める問題です。

(1) $n^2 - n$

(2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$

(3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $n^2 - n$ の極限を求めます。

$n^2 - n = n^2(1-\frac{1}{n})$と変形できます。

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、$1-\frac{1}{n} \to 1$です。

$n^2$は$n \to \infty$のとき、$\infty$に発散するので、$n^2(1-\frac{1}{n}) \to \infty$となります。

(2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$ の極限を求めます。

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\frac{n+1}{3n^2-2} = \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}-\frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$と$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、

$\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}} \to \frac{0+0}{3-0} = \frac{0}{3} = 0$

(3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$ の極限を求めます。

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\frac{5n^2}{-2n^2+1} = \frac{\frac{5n^2}{n^2}}{\frac{-2n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \frac{5}{-2+\frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、

$\frac{5}{-2+\frac{1}{n^2}} \to \frac{5}{-2+0} = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $0$

(3) $-\frac{5}{2}$