$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum（伸縮和）」の形になっています。具体的に書き出すと、

$\frac{1}{2} \left[ (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) \right]$

$\sqrt{3}$ から $\sqrt{n}$ までが打ち消し合い、残るのは $\sqrt{n+1}, \sqrt{n+2}, -\sqrt{1}, -\sqrt{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - \sqrt{1} - \sqrt{2}) = \frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$