与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-y+2)x + (-2y^2 - 7y - 3)$

定数項 $-2y^2 - 7y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 - 7y - 3 = -(2y^2 + 7y + 3) = -(2y+1)(y+3)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$x^2 + (-y+2)x - (2y+1)(y+3)$

これを $(x+Ay+B)(x+Cy+D)$ の形に因数分解できると仮定します。

$A+C = -1$

$B+D = 2$

$(Ay+B)(Cy+D) = -2y^2 - 7y - 3 = -(2y+1)(y+3)$

$AC = -2$ なので、$A=-2$, $C=1$ または $A=2$, $C=-1$ または $A=-1$, $C=2$ または $A=1$, $C=-2$ が考えられます。

$A+C=-1$ を満たすのは $A=-2$, $C=1$ または $A=1$, $C=-2$です。

$A = -2$、$C=1$ の場合、

$(Ay+B)(Cy+D) = (-2y+B)(y+D) = -2y^2 + (B-2D)y + BD = -2y^2 - 7y - 3$

$B-2D = -7$

$BD = -3$

$B= -1$、$D=3$ のとき、$B-2D = -1-6 = -7$ を満たします。

したがって、$(x-2y-1)(x+y+3)$ が答えの候補です。

$(x-2y-1)(x+y+3) = x^2 + xy + 3x - 2xy - 2y^2 - 6y - x - y - 3 = x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$

これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x-2y-1)(x+y+3)$