整式 $F(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $2x+1$ であり、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+6$ である。このとき、$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $F(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $2x+1$ であり、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+6$ である。このとき、$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$F(x) = (x+1)^2(x-1)Q(x) + R(x)$ と表せる。

ここで、$R(x)$ は2次以下の整式であるから、$R(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

したがって、

$F(x) = (x+1)^2(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + c$ となる。

$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りが $2x+1$ であるから、

$F(x) = (x+1)^2 Q_1(x) + 2x+1$ と表せる。

よって、$ax^2 + bx + c$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $2x+1$ となる。

$ax^2 + bx + c = a(x+1)^2 + 2x + 1$ となるので、

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + 2x + 1) + 2x + 1 = ax^2 + (2a+2)x + a + 1$

したがって、$b=2a+2$, $c = a+1$ が成り立つ。

$R(x) = ax^2 + (2a+2)x + a+1$

同様に、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りが $x+6$ であるから、

$F(x) = (x-1)^2 Q_2(x) + x+6$ と表せる。

$F(1) = 1 + 6 = 7$ である。

また、$F(1) = a(1)^2 + (2a+2)(1) + a+1 = a + 2a + 2 + a + 1 = 4a + 3$

したがって、$4a+3 = 7$ より $4a = 4$ なので $a=1$ である。

$R(x) = x^2 + (2+2)x + 1+1 = x^2 + 4x + 2$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + 2$