問題は以下の通りです。 2 (1) $\sqrt{2} + 1$ の小数部分 $b$ の値を求めよ。 (2) 不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求めよ。 3 (1) $3x^2 + 11x + 6$ を因数分解せよ。 (2) 2次方程式 $x^2 - 5x + 2 = 0$ を解け。 (3) $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$, $y = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ のとき、 ① $x+y$ の値を求めよ。 ② $x^2 + y^2$ の値を求めよ。 ③ $x^4 - y^4$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

2 (1) $\sqrt{2} + 1$ の小数部分 $b$ の値を求めよ。

(2) 不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求めよ。

3 (1) $3x^2 + 11x + 6$ を因数分解せよ。

(2) 2次方程式 $x^2 - 5x + 2 = 0$ を解け。

(3) $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$, $y = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ のとき、

① $x+y$ の値を求めよ。

② $x^2 + y^2$ の値を求めよ。

③ $x^4 - y^4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2 (1)

$\sqrt{2}$ は $1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ である。

したがって、$\sqrt{2} + 1$ は $2.4$ と $2.5$ の間の数である。

$\sqrt{2} + 1$ の整数部分は $2$ である。

小数部分 $b$ は $(\sqrt{2} + 1) - 2 = \sqrt{2} - 1$ である。

2 (2)

不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を解く。

$6x + 48 - 8x > 7$

$-2x > -41$

$2x < 41$

$x < \frac{41}{2} = 20.5$

2桁の自然数 $x$ は $10 \leq x \leq 20$ であるから、

$x = 10, 11, 12, ..., 20$

個数は $20 - 10 + 1 = 11$ 個である。

3 (1)

$3x^2 + 11x + 6$ を因数分解する。

$3x^2 + 11x + 6 = (3x + 2)(x + 3)$

3 (2)

2次方程式 $x^2 - 5x + 2 = 0$ を解く。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

3 (3) ①

$x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$, $y = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ のとき、$x+y$ の値を求める。

$x = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

$y = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$

$x + y = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3}$

3 (3) ②

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を用いる。

$xy = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2) = 12 - 4 = 8$

3 (3) ③

$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = (x^2 + y^2)(x+y)(x-y)$

$x - y = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = 2$

$x^4 - y^4 = (8)(2\sqrt{3})(2) = 32\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

2 (1) $\sqrt{2} - 1$

2 (2) 11 個

3 (1) $(3x+2)(x+3)$

3 (2) $x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

3 (3) ① $2\sqrt{3}$

3 (3) ② $8$

3 (3) ③ $32\sqrt{3}$