与えられた方程式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-84=0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-84=0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、式を展開しやすいように項の順序を入れ替えます。

$(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)-84 = 0$

次に、$(x-1)(x+3)$ と $(x-2)(x+4)$ をそれぞれ展開します。

$(x^2+2x-3)(x^2+2x-8) - 84 = 0$

ここで、$A = x^2+2x$ と置くと、

$(A-3)(A-8) - 84 = 0$

$A^2 - 11A + 24 - 84 = 0$

$A^2 - 11A - 60 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(A-15)(A+4) = 0$

よって、$A = 15$ または $A = -4$

$A = x^2+2x$ だったので、$x^2+2x = 15$ または $x^2+2x = -4$ を解きます。

$x^2+2x = 15$ の場合:

$x^2+2x-15 = 0$

$(x+5)(x-3) = 0$

$x = -5, 3$

$x^2+2x = -4$ の場合:

$x^2+2x+4 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = -5, 3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$