全体集合 $U$ と部分集合 $A, B$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap \overline{B}}$ (6) $A \cap \overline{B}$ ただし、$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表します。また、例7の内容が示されていないため、ここでは集合演算の性質を利用して解ける範囲で解を求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ と部分集合 $A, B$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap \overline{B}}$

(6) $A \cap \overline{B}$

ただし、$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表します。また、例7の内容が示されていないため、ここでは集合演算の性質を利用して解ける範囲で解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$: これは集合 $B$ の補集合を表します。定義より、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれないものすべてです。

(2) $\overline{A \cap B}$: これは集合 $A \cap B$ (AとBの共通部分) の補集合を表します。ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ となります。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$: これは集合 $\overline{A}$ (Aの補集合) と $\overline{B}$ (Bの補集合) の共通部分を表します。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ となります。

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$: これは集合 $\overline{A}$ (Aの補集合) と $\overline{B}$ (Bの補集合) の和集合を表します。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ となります。

(5) $\overline{A \cap \overline{B}}$: これは集合 $A \cap \overline{B}$ の補集合を表します。ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cap \overline{B}} = \overline{A} \cup \overline{\overline{B}} = \overline{A} \cup B$ となります。

(6) $A \cap \overline{B}$: これは集合 $A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分を表します。これは、$A$ の要素であり、$B$ の要素ではないもの全体の集合です。これは $A$ から $A \cap B$ を引いたもの($A - B$)と等しいです。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A \cap B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

(6) $A \cap \overline{B} = A - B$