与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 + 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

恒等式なので、左辺と右辺の $x$ の各次数の係数が一致するように $a, b, c$ の値を決定します。

まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$.

したがって、$2x^2 + 1 = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$ が恒等式となるためには、

$x^2$ の係数について $a = 2$

$x$ の係数について $-2a + b = 0$

定数項について $a - b + c = 1$

が成り立つ必要があります。

$a = 2$ より、$-2(2) + b = 0$ なので、$-4 + b = 0$ より $b = 4$ となります。

また、$2 - 4 + c = 1$ なので、$-2 + c = 1$ より $c = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 4$

$c = 3$