次の式を展開する問題です。 (1) $(3a+1)^2(3a-1)^2$ (2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

1. 問題の内容

次の式を展開する問題です。

(1) $(3a+1)^2(3a-1)^2$

(2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(3a+1)^2$と$(3a-1)^2$をそれぞれ展開します。

$(3a+1)^2 = (3a)^2 + 2(3a)(1) + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1$

$(3a-1)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(1) + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$

次に、これらを掛け合わせます。

$(9a^2 + 6a + 1)(9a^2 - 6a + 1)$

ここで、$A = 9a^2 + 1$と置くと、

$(A + 6a)(A - 6a) = A^2 - (6a)^2 = A^2 - 36a^2$

$A^2 = (9a^2 + 1)^2 = (9a^2)^2 + 2(9a^2)(1) + 1^2 = 81a^4 + 18a^2 + 1$

したがって、

$81a^4 + 18a^2 + 1 - 36a^2 = 81a^4 - 18a^2 + 1$

(2)

まず、$(2x+y)(2x-y)$を展開します。

$(2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$

次に、$(4x^2+y^2)(4x^2-y^2)$を展開します。

$(4x^2+y^2)(4x^2-y^2) = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = 16x^4 - y^4$

3. 最終的な答え

(1) $81a^4 - 18a^2 + 1$

(2) $16x^4 - y^4$