(1) 全体集合$U$を10以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$とする。 (ア) $A \cap B$、(イ) $A \cup B$、(ウ) $\overline{A}$、(エ) $\overline{A} \cap B$を求める。 (2) 実数全体を全体集合とし、$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 2, x \text{ は実数}\}$、$B = \{x \mid 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$とするとき、$A \cap B$、$A \cup B$を求める。

1. 問題の内容

(1) 全体集合$U$を10以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$とする。

(ア) $A \cap B$、(イ) $A \cup B$、(ウ) $\overline{A}$、(エ) $\overline{A} \cap B$を求める。

(2) 実数全体を全体集合とし、$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 2, x \text{ は実数}\}$、$B = \{x \mid 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$とするとき、$A \cap B$、$A \cup B$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、全体集合$U$は$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$である。

(ア) $A \cap B$は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{1, 3, 5\}$

(イ) $A \cup B$は、$A$または$B$に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

(ウ) $\overline{A}$は、$U$に含まれるが$A$には含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

(エ) $\overline{A} \cap B$は、$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap B = \{7, 9\}$

(2)

$A$は$-1 \leq x \leq 2$を満たす実数$x$の集合であり、$B$は$0 < x < 3$を満たす実数$x$の集合である。

$A \cap B$は、$A$と$B$の両方を満たす実数$x$の集合である。

$-1 \leq x \leq 2$ かつ $0 < x < 3$を満たす$x$の範囲は、$0 < x \leq 2$である。

$A \cap B = \{x \mid 0 < x \leq 2, x \text{ は実数}\}$

$A \cup B$は、$A$または$B$を満たす実数$x$の集合である。

$-1 \leq x \leq 2$ または $0 < x < 3$を満たす$x$の範囲は、$-1 \leq x < 3$である。

$A \cup B = \{x \mid -1 \leq x < 3, x \text{ は実数}\}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $A \cap B = \{1, 3, 5\}$

(イ) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

(ウ) $\overline{A} = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

(エ) $\overline{A} \cap B = \{7, 9\}$

(2)

$A \cap B = \{x \mid 0 < x \leq 2, x \text{ は実数}\}$

$A \cup B = \{x \mid -1 \leq x < 3, x \text{ は実数}\}$