a) $\arctan \frac{1}{t}$ の微分を微分の定義から求める。 b) (a)の結果を用いて $\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$ の微分を求める。 c) 定数関数の微分と(b)の結果を比較検討し、その理由を答える。

1. 問題の内容

a) $\arctan \frac{1}{t}$ の微分を微分の定義から求める。

b) (a)の結果を用いて $\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$ の微分を求める。

c) 定数関数の微分と(b)の結果を比較検討し、その理由を答える。

2. 解き方の手順

a) 微分の定義より、

$\frac{d}{dt}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$ であることが知られているとする。(問題文に「(3)の結果は用いてよい」とあるので、この結果を使ってよい。)

$f(t) = \arctan \frac{1}{t}$とすると、合成関数の微分より、

$\frac{d}{dt}f(t) = \frac{d}{dt}\arctan \frac{1}{t} = \frac{1}{1+(\frac{1}{t})^2} \cdot \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) = \frac{1}{1+\frac{1}{t^2}} \cdot (-\frac{1}{t^2}) = \frac{1}{\frac{t^2+1}{t^2}} \cdot (-\frac{1}{t^2}) = \frac{t^2}{t^2+1} \cdot (-\frac{1}{t^2}) = -\frac{1}{t^2+1}$

$\frac{d}{dt} \arctan \frac{1}{t} = - \frac{1}{1+t^2}$

b) $g(t) = \arctan t + \arctan \frac{1}{t}$とする。

$\frac{d}{dt}g(t) = \frac{d}{dt}(\arctan t + \arctan \frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}\arctan t + \frac{d}{dt}\arctan \frac{1}{t}$

$= \frac{1}{1+t^2} + (-\frac{1}{1+t^2}) = 0$

$\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$の微分は0である。

使った性質：微分は線形性を持つこと。つまり、$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$。

c) (b)の結果から、$\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$の微分は0となる。定数関数の微分も0である。

よって、$\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$は定数である。

これは、$\arctan t + \arctan \frac{1}{t} = C$ (Cは定数)と表せることを意味する。

実際に、$t>0$のとき、$arctan t + arctan \frac{1}{t} = \frac{\pi}{2}$であり、$t<0$のとき、$arctan t + arctan \frac{1}{t} = -\frac{\pi}{2}$となる。したがって、$\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$は区分的に定数関数である。

3. 最終的な答え

a) $\frac{d}{dt} \arctan \frac{1}{t} = - \frac{1}{1+t^2}$

b) $\frac{d}{dt} (\arctan t + \arctan \frac{1}{t}) = 0$

c) $\arctan t + \arctan \frac{1}{t}$ は定数関数（区分的に定数関数）であるため、微分は0となる。