1) 全体集合 $U$ を10以下の正の整数全体の集合とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$、$B = \{2, 3, 6, 8, 9\}$ とするとき、以下の集合を求めます。 (ア) $A \cap B$ (イ) $A \cup B$ (ウ) $\overline{A}$ (エ) $A \cap \overline{B}$ 2) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x | -1 \le x \le 2, x \text{ は実数}\}$、$B = \{x | 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$ とするとき、集合 $\overline{A}$、$\overline{A} \cap B$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

1) 全体集合 $U$ を10以下の正の整数全体の集合とし、$U$ の部分集合 $A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$、$B = \{2, 3, 6, 8, 9\}$ とするとき、以下の集合を求めます。

(ア) $A \cap B$

(イ) $A \cup B$

(ウ) $\overline{A}$

(エ) $A \cap \overline{B}$

2) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A = \{x | -1 \le x \le 2, x \text{ は実数}\}$、$B = \{x | 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$ とするとき、集合 $\overline{A}$、$\overline{A} \cap B$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

1)

(ア) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$B = \{2, 3, 6, 8, 9\}$

$A \cap B = \{3, 6, 8\}$

(イ) $A \cup B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の和集合です。つまり、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$B = \{2, 3, 6, 8, 9\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 8, 9, 10\}$

(ウ) $\overline{A}$ は、$A$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ に含まれる要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。全体集合は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ です。

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$\overline{A} = \{2, 4, 5, 7, 9\}$

(エ) $A \cap \overline{B}$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分です。

まず、$\overline{B}$ を求めます。

$B = \{2, 3, 6, 8, 9\}$

$\overline{B} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

次に、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分を求めます。

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$\overline{B} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$

2)

$A = \{x | -1 \le x \le 2, x \text{ は実数}\}$

$B = \{x | 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$

$\overline{A}$ は、$A$ の補集合です。全体集合は実数全体なので、

$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 2, x \text{ は実数}\}$

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。

$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 2, x \text{ は実数}\}$

$B = \{x | 0 < x < 3, x \text{ は実数}\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | 2 < x < 3, x \text{ は実数}\}$

3. 最終的な答え

1)

(ア) $A \cap B = \{3, 6, 8\}$

(イ) $A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 8, 9, 10\}$

(ウ) $\overline{A} = \{2, 4, 5, 7, 9\}$

(エ) $A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$

2)

$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 2, x \text{ は実数}\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | 2 < x < 3, x \text{ は実数}\}$