与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 8$ (2) $27x^3 - 1$ (3) $8x^3 - 27y^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 8$

(2) $27x^3 - 1$

(3) $8x^3 - 27y^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ または $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できます。

(1) $x^3 + 8$

これは $x^3 + 2^3$ と見なせるので、$a=x$、$b=2$ として、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を適用します。

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $27x^3 - 1$

これは $(3x)^3 - 1^3$ と見なせるので、$a=3x$、$b=1$ として、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を適用します。

$(3x)^3 - 1^3 = (3x-1)((3x)^2 + 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x-1)(9x^2 + 3x + 1)$

(3) $8x^3 - 27y^3$

これは $(2x)^3 - (3y)^3$ と見なせるので、$a=2x$、$b=3y$ として、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を適用します。

$(2x)^3 - (3y)^3 = (2x-3y)((2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2) = (2x-3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $27x^3 - 1 = (3x-1)(9x^2 + 3x + 1)$

(3) $8x^3 - 27y^3 = (2x-3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$