問題は、与えられた等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めることです。 (1) 第5項が-48、第7項が-192の場合 (2) 第4項が3、第6項が27の場合

はい、承知いたしました。等比数列の問題ですね。

1. 問題の内容

問題は、与えられた等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めることです。

(1) 第5項が-48、第7項が-192の場合

(2) 第4項が3、第6項が27の場合

2. 解き方の手順

(1) の場合：

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$は初項、$r$は公比です。

問題文より、

$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = -48$ ...(1)

$a_7 = a r^{7-1} = a r^6 = -192$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{a r^6}{a r^4} = \frac{-192}{-48}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r=2$ のとき、(1)より $a(2)^4 = 16a = -48$ なので、$a = -3$

したがって、$a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$

$r=-2$ のとき、(1)より $a(-2)^4 = 16a = -48$ なので、$a = -3$

したがって、$a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

(2) の場合：

$a_4 = a r^{4-1} = a r^3 = 3$ ...(3)

$a_6 = a r^{6-1} = a r^5 = 27$ ...(4)

(4)を(3)で割ると、

$\frac{a r^5}{a r^3} = \frac{27}{3}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

$r=3$ のとき、(3)より $a(3)^3 = 27a = 3$ なので、$a = \frac{1}{9}$

したがって、$a_n = \frac{1}{9} \cdot 3^{n-1} = 3^{-2} \cdot 3^{n-1} = 3^{n-3}$

$r=-3$ のとき、(3)より $a(-3)^3 = -27a = 3$ なので、$a = -\frac{1}{9}$

したがって、$a_n = -\frac{1}{9} \cdot (-3)^{n-1} = -3^{-2} \cdot (-3)^{n-1} = -(-3)^{n-3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

(2) $a_n = 3^{n-3}$ または $a_n = -(-3)^{n-3}$