与えられた式 $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} - \sqrt{13 - 2\sqrt{40}}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} - \sqrt{13 - 2\sqrt{40}}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ と $\sqrt{13 - 2\sqrt{40}}$ をそれぞれ簡略化する。

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ について:

$7 + 2\sqrt{10}$ を $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ の形にすることを考える。

$a^2 + b^2 = 7$ かつ $ab = \sqrt{10}$ となる $a$ と $b$ を見つける。

$a = \sqrt{5}$ と $b = \sqrt{2}$ とすると、$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$ かつ $ab = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10}$ となる。

したがって、

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\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}

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$\sqrt{13 - 2\sqrt{40}}$ について:

$13 - 2\sqrt{40}$ を $(c-d)^2 = c^2 + d^2 - 2cd$ の形にすることを考える。

$c^2 + d^2 = 13$ かつ $cd = \sqrt{40}$ となる $c$ と $d$ を見つける。

$c = \sqrt{8}$ と $d = \sqrt{5}$ とすると、$c^2 + d^2 = 8 + 5 = 13$ かつ $cd = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{40}$ となる。

したがって、

$$$$

\sqrt{13 - 2\sqrt{40}} = \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{5})^2} = |\sqrt{8} - \sqrt{5}| = \sqrt{8} - \sqrt{5} = 2\sqrt{2} - \sqrt{5}

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元の式に代入すると、

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\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} - \sqrt{13 - 2\sqrt{40}} = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - \sqrt{2}

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3. 最終的な答え

$2\sqrt{5} - \sqrt{2}$