複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられたとき、方程式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求める問題です。ただし、複素数の偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

1. 問題の内容

複素数 $a = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられたとき、方程式 $|z-a| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求める問題です。ただし、複素数の偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

2. 解き方の手順

まず、$a$ を極形式で表します。

$a = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 4(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

したがって、$a$ の絶対値は $|a| = 4$ であり、偏角は $\arg(a) = \frac{\pi}{4}$ です。

次に、方程式 $|z-a| = 2$ を幾何学的に解釈します。これは複素数平面上で、中心が $a$ で半径が $2$ の円を表します。

$z$ はこの円上の点なので、$|z|$ が最大となるのは、$0$ と $a$ を結ぶ直線と円の交点のうち、$0$ から最も遠い点です。

この点を $z_0$ とすると、$z_0$ は $a$ から $0$ の方向とは逆向きに距離 $2$ だけ進んだ点です。つまり、$z_0 = a + 2e^{i(\arg(a) + \pi)}$ で表されます。

$|z|$ を最大にする $z$ は、$a$ の偏角方向に $a$ から距離 2 だけ離れた点なので、

$z = a + 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = a + 2e^{i\frac{\pi}{4}} = 4(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) + 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 6(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

$z = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$