与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項の部分を展開します。

$(b-4)(3b+1) = 3b^2 + b - 12b - 4 = 3b^2 - 11b - 4$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$a^2 + (2b+5)a - (3b^2 - 11b - 4) = a^2 + (2b+5)a - 3b^2 + 11b + 4$

次に、$a$ についての二次式として因数分解することを考えます。

$(a+x)(a+y) = a^2 + (x+y)a + xy$ の形になるように、$x$ と $y$ を見つけます。

$x+y = 2b+5$ および $xy = -3b^2 + 11b + 4$ となる $x$ と $y$ を探します。

ここで、$-3b^2 + 11b + 4$ を因数分解できるか考えます。

$-3b^2 + 11b + 4 = -(3b^2 - 11b - 4) = -(3b+1)(b-4)$

したがって、

$xy = -(3b+1)(b-4)$

$x+y = (b-4) + (-3b-1) = b - 4 -3b - 1 = -2b -5$

または

$x+y = (-b+4) + (3b+1) = -b + 4 +3b + 1 = 2b +5$

よって、$x = (3b+1)$ , $y = -(b-4)$ のとき、$x+y = 3b+1 -b + 4 = 2b+5$となり、条件を満たします。

よって、$a^2 + (2b+5)a - (3b^2 - 11b - 4) = (a + 3b+1)(a-b+4)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a + 3b + 1)(a - b + 4)$