曲線 $y = 2x^3$ と点 $A(1, a)$ が与えられている。 (1) 曲線上の点 $B(t, 2t^3)$ における接線が点 $A$ を通るとき、$a$ を $t$ を用いて表す。 (2) 点 $A$ を通って曲線に接線を2本だけ引けるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^3$ と点 $A(1, a)$ が与えられている。

(1) 曲線上の点 $B(t, 2t^3)$ における接線が点 $A$ を通るとき、$a$ を $t$ を用いて表す。

(2) 点 $A$ を通って曲線に接線を2本だけ引けるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = 2x^3$ の導関数を求める。

$y' = 6x^2$

点 $B(t, 2t^3)$ における接線の傾きは $6t^2$ である。

点 $B$ における接線の方程式は、

$y - 2t^3 = 6t^2 (x - t)$

$y = 6t^2 x - 6t^3 + 2t^3$

$y = 6t^2 x - 4t^3$

この接線が点 $A(1, a)$ を通るので、

$a = 6t^2 (1) - 4t^3$

$a = 6t^2 - 4t^3$

(2)

$a = 6t^2 - 4t^3$ より、$4t^3 - 6t^2 + a = 0$ が成立する。

$f(t) = 4t^3 - 6t^2 + a$ とおく。

点Aを通って曲線に接線を2本だけ引けるとき、$f(t) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

そのためには、$f'(t) = 0$ となる $t$ の値において、$f(t)$ の値が一方では0となり、もう一方では0でない必要がある。

$f'(t) = 12t^2 - 12t = 12t(t-1)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 1$ のとき。

$f(0) = a$

$f(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 + a = 4 - 6 + a = a - 2$

異なる2つの実数解を持つためには、$f(0) = 0$ または $f(1) = 0$ が必要となる。

(i) $f(0) = a = 0$ のとき、$f(t) = 4t^3 - 6t^2 = 2t^2(2t - 3)$。$t = 0, \frac{3}{2}$ となり、異なる2解を持つ。

(ii) $f(1) = a - 2 = 0$ のとき、$a = 2$ であり、$f(0) = 2 \ne 0$。 $f(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2 = 2(2t^3 - 3t^2 + 1) = 2(t-1)^2 (2t+1)$ 。 $t = 1, -\frac{1}{2}$ となり、異なる2解を持つ。

従って、$a = 0, 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6t^2 - 4t^3$

(2) $a = 0, 2$ (ただし、$0 < 2$)