与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (3y-5)x - (2y^2 + 5y - 3)$

次に、定数項 $2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

したがって、与式は次のようになります。

$2x^2 + (3y-5)x - (2y - 1)(y + 3)$

次に、この式が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定し、係数を比較します。

係数を比較すると、以下のようになると考えられます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

上記の式を展開して、$x$についての式を比較すると

$2x^2 + (2cy+ay+2d+b)x+ (acy^2+(ad+bc)y+bd)$となる。

展開された式と元の式を比較すると以下のことがわかる

$2c+a=3$

$2d+b=-5$

$ac=-2$

$ad+bc=-5$

$bd=3$

上記の情報を考慮して定数を推定すると、

$a=4$

$c=-0.5$

$b=-2$

$d=-1.5$

となることがわかる。

しかし、$c=-0.5$という少数になってしまったので、別の方法を試す

上記の式を以下のように因数分解できると仮定する。

$(2x + y + a)(x - 2y + b)$

上記の式を展開すると

$2x^2 - 4xy + 2bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab$

$=2x^2 -3xy - 2y^2 +(2b+a)x +(b-2a)y + ab$

元の式と比較すると

$2b+a=-5$

$b-2a=-5$

$ab=3$

これらの式を解くと

$5b=-15$

$b=-3$

$-6+a=-5$

$a=1$

$ab=-3$となり、$3$にならないので失敗

上記の式を以下のように因数分解できると仮定する。

$(2x - y + a)(x + 2y + b)$

$2x^2+4xy+2bx-xy-2y^2-by+ax+2ay+ab$

$2x^2+3xy-2y^2+(2b+a)x+(-b+2a)y+ab$

$2b+a=-5$

$-b+2a=-5$

$ab=3$

$5a=-15$

$a=-3$

$2b-3=-5$

$2b=-2$

$b=-1$

$ab=3$

$3=3$

成功

よって因数分解した式は

$(2x - y - 3)(x + 2y - 1)$

となる。

3. 最終的な答え

$(2x - y - 3)(x + 2y - 1)$