与えられた式 $2x^2 + 3xy + y^2 + 4x + y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 3xy + y^2 + 4x + y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (3y+4)x + (y^2 + y - 6)$

次に、定数項 $y^2 + y - 6$ を因数分解します。

$y^2 + y - 6 = (y+3)(y-2)$

式全体が因数分解できると仮定すると、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると考えられます。

$2x^2 + (3y+4)x + (y+3)(y-2)$ において、

$ad = 2$, $cf = -6$ である必要があります。

また、$be = 1$, $bf+ce = 1$である必要もあります。

$2x^2 + (3y+4)x + (y^2+y-6) = (2x+y+a)(x+y+b)$の形を仮定します。

このとき、 $(2x+y+a)(x+y+b) = 2x^2 + 2xy + 2bx + xy + y^2 + by + ax + ay + ab = 2x^2 + 3xy + y^2 + (2b+a)x + (a+b)y + ab$ となります。

与えられた式と比較すると、

$2b + a = 4$

$a+b = 1$

$ab = -6$

という関係が成り立ちます。

$a+b = 1$ から $a = 1 - b$ なので、 $2b + 1 - b = 4$ となり、$b = 3$ を得ます。

すると、$a = 1 - 3 = -2$ となります。

$ab = -2 * 3 = -6$ であるため、これは矛盾しません。

したがって、

$(2x + y - 2)(x + y + 3) = 2x^2 + 2xy + 6x + xy + y^2 + 3y - 2x - 2y - 6 = 2x^2 + 3xy + y^2 + 4x + y - 6$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + y + 3)$