$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 y + xy^3$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 y + xy^3$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

$y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$

(1) $x^2 + y^2 = (4 - \sqrt{15})^2 + (4 + \sqrt{15})^2$

$= (16 - 8\sqrt{15} + 15) + (16 + 8\sqrt{15} + 15) = 31 - 8\sqrt{15} + 31 + 8\sqrt{15} = 62$

(2) $x^3 y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

$xy = (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 16 - 15 = 1$

よって、 $x^3 y + xy^3 = 1 \cdot (x^2 + y^2) = 62$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{62}{1} = 62$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 62$

(2) $x^3 y + xy^3 = 62$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 62$