与えられた式 $(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2+2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2+2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc = ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + 2abc$

次に、式を整理します。

$ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + 2abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

式を因数分解しやすいように並び替えます。

$a^2b + ab^2 + a^2c + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくります。

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

さらに、$a^2 + ab + ac + bc$ を因数分解します。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$