ド・モルガンの法則を用いて、集合の等式 $(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$ を証明せよ。

1. 問題の内容

ド・モルガンの法則を用いて、集合の等式 $(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則とは、以下の二つの法則のことです。

1. $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

2. $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

また、分配法則とは以下の法則のことです。

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

まず、左辺$(A \cup B) \cap \overline{C}$を分配法則を使って展開します。

$(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$

これは右辺 $(A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$ と一致します。

したがって、

$(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$

3. 最終的な答え

$(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$