行列 $A, B, C$ が与えられています。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}$ 次の行列の積が計算可能かどうかを判断し、計算可能であれば計算し、そうでなければその理由を述べます。 $A^2, AB, AC, BA, B^2, BC, CA, CB, C^2$

1. 問題の内容

行列 $A, B, C$ が与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}$

次の行列の積が計算可能かどうかを判断し、計算可能であれば計算し、そうでなければその理由を述べます。

$A^2, AB, AC, BA, B^2, BC, CA, CB, C^2$

2. 解き方の手順

行列の積が定義される条件は、$m \times n$ 行列と $p \times q$ 行列の積の場合、$n = p$ であることです。

* $A^2$: $A$は $2 \times 3$ 行列なので、$A \times A$ は計算できません。

* $AB$: $A$は $2 \times 3$ 行列、$B$は $3 \times 1$ 行列なので、$AB$ は $2 \times 1$ 行列として計算できます。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2) + 0(-1) + 5(3) \\ -3(2) + 1(-1) + 2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0+15 \\ -6-1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ -1 \end{pmatrix}$

* $AC$: $A$は $2 \times 3$ 行列、$C$は $3 \times 3$ 行列なので、$AC$ は $2 \times 3$ 行列として計算できます。

$AC = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(3)+5(0) & 1(0)+0(-2)+5(5) & 1(4)+0(0)+5(-1) \\ -3(1)+1(3)+2(0) & -3(0)+1(-2)+2(5) & -3(4)+1(0)+2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 25 & -1 \\ 0 & 8 & -14 \end{pmatrix}$

* $BA$: $B$は $3 \times 1$ 行列、$A$は $2 \times 3$ 行列なので、$BA$ は計算できません。

* $B^2$: $B$は $3 \times 1$ 行列なので、$B \times B$ は計算できません。

* $BC$: $B$は $3 \times 1$ 行列、$C$は $3 \times 3$ 行列なので、$BC$ は計算できません。

* $CA$: $C$は $3 \times 3$ 行列、$A$は $2 \times 3$ 行列なので、$CA$ は計算できません。

* $CB$: $C$は $3 \times 3$ 行列、$B$は $3 \times 1$ 行列なので、$CB$ は $3 \times 1$ 行列として計算できます。

$CB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)+0(-1)+4(3) \\ 3(2)+(-2)(-1)+0(3) \\ 0(2)+5(-1)+(-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0+12 \\ 6+2+0 \\ 0-5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}$

* $C^2$: $C$は $3 \times 3$ 行列なので、$C \times C$ は $3 \times 3$ 行列として計算できます。

$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(3)+4(0) & 1(0)+0(-2)+4(5) & 1(4)+0(0)+4(-1) \\ 3(1)+(-2)(3)+0(0) & 3(0)+(-2)(-2)+0(5) & 3(4)+(-2)(0)+0(-1) \\ 0(1)+5(3)+(-1)(0) & 0(0)+5(-2)+(-1)(5) & 0(4)+5(0)+(-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 20 & 0 \\ -3 & 4 & 12 \\ 15 & -15 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2$: 計算できない。行列のサイズが合わないため。

$AB = \begin{pmatrix} 17 \\ -1 \end{pmatrix}$

$AC = \begin{pmatrix} 1 & 25 & -1 \\ 0 & 8 & -14 \end{pmatrix}$

$BA$: 計算できない。行列のサイズが合わないため。

$B^2$: 計算できない。行列のサイズが合わないため。

$BC$: 計算できない。行列のサイズが合わないため。

$CA$: 計算できない。行列のサイズが合わないため。

$CB = \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}$

$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 20 & 0 \\ -3 & 4 & 12 \\ 15 & -15 & 1 \end{pmatrix}$