$x = a^2 + 9$ とし、$y = \sqrt{x - 6a} - \sqrt{x + 6a}$ とする。$y$ を $a$ の範囲によって場合分けして簡略化する。

1. 問題の内容

$x = a^2 + 9$ とし、$y = \sqrt{x - 6a} - \sqrt{x + 6a}$ とする。$y$ を $a$ の範囲によって場合分けして簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の式に $x = a^2 + 9$ を代入する。

$y = \sqrt{a^2 + 9 - 6a} - \sqrt{a^2 + 9 + 6a} = \sqrt{(a - 3)^2} - \sqrt{(a + 3)^2} = |a - 3| - |a + 3|$

絶対値を外すために、$a$ の範囲を場合分けする。

(i) $a \le -3$ のとき

$|a - 3| = -(a - 3) = -a + 3$, $|a + 3| = -(a + 3) = -a - 3$

$y = (-a + 3) - (-a - 3) = -a + 3 + a + 3 = 6$

(ii) $-3 \le a \le 3$ のとき

$|a - 3| = -(a - 3) = -a + 3$, $|a + 3| = a + 3$

$y = (-a + 3) - (a + 3) = -a + 3 - a - 3 = -2a$

(iii) $a \ge 3$ のとき

$|a - 3| = a - 3$, $|a + 3| = a + 3$

$y = (a - 3) - (a + 3) = a - 3 - a - 3 = -6$

3. 最終的な答え

$a \le -3$ のとき, $y = 6$

$-3 \le a \le 3$ のとき, $y = -2a$

$a \ge 3$ のとき, $y = -6$