与えられたベルの不等式に関する問題です。 光子対を発生させ、偏光板を通過させます。 偏光板の角度を$\theta$、$\phi$として、通過した場合を+1、通過しなかった場合を-1とします。 $S = ab + a'b + ab' - a'b'$ という量を定義し、$S = (a + a')b + (a - a')b' = \pm 2$となります。 $S$の平均値$\langle S \rangle$は$-2 \le \langle S \rangle \le 2$の範囲内にあると考えられます。 しかし、特定の条件下では、$\langle A(\theta)B(\phi) \rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$ に従うことが確認され、$\langle S \rangle$について上記の不等式の範囲を超える実験結果が得られています。 問題では、角度の組$(\theta, \theta', \phi, \phi')$を調節して$|\langle S \rangle|$を最大化することが求められると考えられます。

1. 問題の内容

与えられたベルの不等式に関する問題です。

光子対を発生させ、偏光板を通過させます。

偏光板の角度を$\theta$、$\phi$として、通過した場合を+1、通過しなかった場合を-1とします。

$S = ab + a'b + ab' - a'b'$ という量を定義し、$S = (a + a')b + (a - a')b' = \pm 2$となります。

$S$の平均値$\langle S \rangle$は$-2 \le \langle S \rangle \le 2$の範囲内にあると考えられます。

しかし、特定の条件下では、$\langle A(\theta)B(\phi) \rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$ に従うことが確認され、$\langle S \rangle$について上記の不等式の範囲を超える実験結果が得られています。

問題では、角度の組$(\theta, \theta', \phi, \phi')$を調節して$|\langle S \rangle|$を最大化することが求められると考えられます。

2. 解き方の手順

$S = ab + a'b + ab' - a'b'$

$\langle A(\theta)B(\phi) \rangle = \langle ab \rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$

$\langle S \rangle = \langle ab \rangle + \langle a'b \rangle + \langle ab' \rangle - \langle a'b' \rangle$

$\langle S \rangle = -\cos 2(\theta - \phi) - \cos 2(\theta' - \phi) - \cos 2(\theta - \phi') + \cos 2(\theta' - \phi')$

$|\langle S \rangle|$ を最大化することを考えます。

$\langle S \rangle$ を変形すると、

$\langle S \rangle = - [\cos 2(\theta - \phi) + \cos 2(\theta' - \phi) + \cos 2(\theta - \phi') - \cos 2(\theta' - \phi') ]$

$= - [\cos 2(\theta - \phi) + \cos 2(\theta' - \phi) + \cos 2(\theta - \phi') - \cos 2(\theta' - \phi') ]$

$= - [\cos 2(\theta - \phi) + \cos 2(\theta' - \phi) + \cos 2(\theta - \phi') + \cos(\pi+2(\theta' - \phi')) ]$

$|\langle S \rangle|$を最大化するには、それぞれのコサインの項が1または-1になるように角度を選ぶ必要があります。

例えば、$\theta - \phi = \pi/4$ , $\theta' - \phi = -\pi/4$, $\theta - \phi' = -\pi/4$, $\theta' - \phi' = -3\pi/4$とすると、

$\langle S \rangle = -(\cos(\pi/2) + \cos(-\pi/2) + \cos(-\pi/2) - \cos(-3\pi/2)) = 2 \sqrt{2}$.

したがって、 $|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$となります。

ベルの不等式の範囲は-2から2であるため、この値はベルの不等式を超えています。

3. 最終的な答え

$\theta - \phi = \pi/8, \theta' - \phi = -3\pi/8, \theta - \phi' = 3\pi/8, \theta' - \phi' = \pi/8$とすれば$2\sqrt{2}$が得られます。

$(\theta, \theta', \phi, \phi') = (0, -\pi/2, -\pi/8, -5\pi/8)$とすると、

$\langle S \rangle = -[\cos(\pi/4) + \cos(-3\pi/4) + \cos(3\pi/4) - \cos(\pi/4)] = -[\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2] = 2\sqrt{2}$

$|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2}$

最終的な答え: $2\sqrt{2}$

（角度の組み合わせは $(\theta, \theta', \phi, \phi') = (0, -\pi/2, -\pi/8, -5\pi/8)$の時)