$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、以下の値を求めます。 ア: $x+y$ イ: $xy$ ウ: $x^2 + y^2$ エ: $x^3 + y^3$ オ: $x^4 + y^4$ カ: $x^5 + y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、以下の値を求めます。

ア: $x+y$

イ: $xy$

ウ: $x^2 + y^2$

エ: $x^3 + y^3$

オ: $x^4 + y^4$

カ: $x^5 + y^5$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

ア: $x+y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$

イ: $xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

ウ: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

エ: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (10)(10^2 - 3(1)) = 10(100 - 3) = 10(97) = 970$

オ: $x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (98)^2 - 2(1)^2 = 9604 - 2 = 9602$

カ: $x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^2(x+y) = (98)(970) - (1)^2(10) = 95060 - 10 = 95050$

3. 最終的な答え

ア: 10

イ: 1

ウ: 98

エ: 970

オ: 9602

カ: 95050