与えられた問題は、以下の4つの問題から構成されています。 1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ の積分を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの問題から構成されています。

1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ の積分を求める。

2. 質量密度が $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ (ただし$\rho_0$は定数) で与えられる半径 $a$ の球の質量 $M$ を求める。

3. 半径 $a$, 長さ $h$ の円柱内に電荷密度 $\rho = q_0 (a-r)$ (ただし $q_0$ は定数) の電荷が分布しているとき、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。ここで、$r$ は円柱の中心軸(z軸)からの距離。

4. 半径 $a$, 長さ $h$ の一様な質量の円柱(質量 $M$) がある。この円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸とするときの慣性モーメント $I$ を求める。

2. 解き方の手順

問題1: $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$

この積分はガウス積分として知られています。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ とします。$u = \sqrt{a} x$ と置換すると、$du = \sqrt{a} dx$ となり、$dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$となります。したがって、$x=0$のとき$u=0$、$x=\infty$のとき$u=\infty$ となり積分範囲は変わりません。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du$

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$であることから、

$I = \frac{1}{\sqrt{a}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

問題2: $M = \int \rho(r) dV = \int \frac{\rho_0}{r} dV$

球座標で積分を行うと、微小体積要素は $dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ となります。半径 $a$ の球の質量を求めるので、積分範囲は $0 \le r \le a$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$ となります。

$M = \int_{0}^{a} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\rho_0}{r} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi = \rho_0 \int_{0}^{a} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r \sin\theta dr d\theta d\phi$

$M = \rho_0 \int_{0}^{a} r dr \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi = \rho_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{a} \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \phi \right]_{0}^{2\pi}$

$M = \rho_0 \frac{a^2}{2} (-\cos\pi + \cos0) (2\pi) = \rho_0 \frac{a^2}{2} (1+1) (2\pi) = 2\pi a^2 \rho_0$

問題3: $Q = \int \rho dV = \int q_0 (a-r) dV$

円柱座標で積分を行うと、微小体積要素は $dV = r dr d\theta dz$ となります。半径 $a$, 高さ $h$ の円柱内の総電荷量を求めるので、積分範囲は $0 \le r \le a$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le z \le h$ となります。

$Q = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{h} q_0 (a-r) r dr d\theta dz = q_0 \int_{0}^{a} (a-r)r dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{h} dz$

$Q = q_0 \int_{0}^{a} (ar - r^2) dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{h} dz = q_0 \left[ \frac{ar^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{a} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} \left[ z \right]_{0}^{h}$

$Q = q_0 \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) (2\pi) (h) = q_0 \left( \frac{3a^3 - 2a^3}{6} \right) (2\pi) (h) = q_0 \frac{a^3}{6} (2\pi) (h) = \frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$

問題4: $I = \int r^2 dm$

円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸とする慣性モーメントを求める。ここで、$r$ は回転軸からの距離を表す。円柱座標系を用いると、$r^2 = x^2 + z^2$. よって $I = \int (x^2 + z^2) dm$. また、質量密度 $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi a^2 h}$. 微小質量 $dm = \rho dV = \frac{M}{\pi a^2 h} dV$.

$I = \int (x^2+z^2) dm = \int (r^2 \cos^2\theta + z^2) \frac{M}{\pi a^2 h} r dr d\theta dz = \frac{M}{\pi a^2 h} \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} \int_{-h/2}^{h/2} (r^2 \cos^2\theta + z^2) r dr d\theta dz$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \left[ \int_{0}^{a} r^3 dr \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta \int_{-h/2}^{h/2} dz + \int_{0}^{a} r dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{-h/2}^{h/2} z^2 dz \right]$

ここで、$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \pi$, $\int_{0}^{a} r^3 dr = \frac{a^4}{4}$, $\int_{-h/2}^{h/2} dz = h$, $\int_{0}^{a} r dr = \frac{a^2}{2}$, $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$, $\int_{-h/2}^{h/2} z^2 dz = \frac{1}{12}h^3$.

したがって、

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \left[ \frac{a^4}{4} \pi h + \frac{a^2}{2} 2\pi \frac{h^3}{12} \right] = \frac{M}{\pi a^2 h} \left[ \frac{\pi a^4 h}{4} + \frac{\pi a^2 h^3}{12} \right] = M \left[ \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{12} \right] = \frac{M}{12} (3a^2 + h^2)$

3. 最終的な答え

問題1: $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

問題2: $2 \pi a^2 \rho_0$

問題3: $\frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$

問題4: $\frac{M}{12} (3a^2 + h^2)$