次の不等式を解きます。 $|x-7| + |x-8| < 3$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$|x-7| + |x-8| < 3$

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x < 7$ のとき

$x-7 < 0$ かつ $x-8 < 0$ なので、

$|x-7| = -(x-7) = 7-x$

$|x-8| = -(x-8) = 8-x$

よって、不等式は

$(7-x) + (8-x) < 3$

$15 - 2x < 3$

$-2x < -12$

$2x > 12$

$x > 6$

したがって、$6 < x < 7$

(ii) $7 \le x < 8$ のとき

$x-7 \ge 0$ かつ $x-8 < 0$ なので、

$|x-7| = x-7$

$|x-8| = -(x-8) = 8-x$

よって、不等式は

$(x-7) + (8-x) < 3$

$1 < 3$

これは常に成り立つので、$7 \le x < 8$ が解となります。

(iii) $8 \le x$ のとき

$x-7 > 0$ かつ $x-8 \ge 0$ なので、

$|x-7| = x-7$

$|x-8| = x-8$

よって、不等式は

$(x-7) + (x-8) < 3$

$2x - 15 < 3$

$2x < 18$

$x < 9$

したがって、$8 \le x < 9$

(i), (ii), (iii) より、解は

$6 < x < 7$ または $7 \le x < 8$ または $8 \le x < 9$

これらを合わせると、$6 < x < 9$ となります。

3. 最終的な答え

$6 < x < 9$