(1) 多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ について、(ア) $x+1$ と (イ) $x+2$ がそれぞれ因数であるかどうかを調べる。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ について、(ア) $x-1$ と (イ) $x+3$ がそれぞれ因数であるかどうかを調べる。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ について、(ア) $x+1$ と (イ) $x+2$ がそれぞれ因数であるかどうかを調べる。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ について、(ア) $x-1$ と (イ) $x+3$ がそれぞれ因数であるかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

因数定理を用いる。多項式 $P(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つための必要十分条件は $P(a) = 0$ である。

(1)

(ア) $x+1$ が因数であるかどうかを調べる。$a = -1$ の場合を考える。

$P(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) - 6 = -1 + 4 - 1 - 6 = -4$

$P(-1) \neq 0$ であるから、$x+1$ は因数ではない。

(イ) $x+2$ が因数であるかどうかを調べる。$a = -2$ の場合を考える。

$P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 6 = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$

$P(-2) = 0$ であるから、$x+2$ は因数である。

(2)

(ア) $x-1$ が因数であるかどうかを調べる。$a = 1$ の場合を考える。

$P(1) = (1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$

$P(1) = 0$ であるから、$x-1$ は因数である。

(イ) $x+3$ が因数であるかどうかを調べる。$a = -3$ の場合を考える。

$P(-3) = (-3)^3 - 5(-3)^2 + 7(-3) - 3 = -27 - 45 - 21 - 3 = -96$

$P(-3) \neq 0$ であるから、$x+3$ は因数ではない。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $x+1$ は因数ではない。

(イ) $x+2$ は因数である。

(2)

(ア) $x-1$ は因数である。

(イ) $x+3$ は因数ではない。