連立一次方程式 $\begin{cases} x + y + z = -1 \\ x + 2y + 4z = -6 \end{cases}$ と同値な直線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

連立一次方程式

$\begin{cases} x + y + z = -1 \\ x + 2y + 4z = -6 \end{cases}$

と同値な直線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式から直線の方向ベクトルと通る点を求めます。

1. 連立方程式を解いて、$y$ と $z$ を $x$ で表します。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$y + 3z = -5$

$y = -3z - 5$

これを最初の式に代入します。

$x + (-3z - 5) + z = -1$

$x - 2z - 5 = -1$

$x - 2z = 4$

$2z = x - 4$

$z = \frac{x}{2} - 2$

$y = -3(\frac{x}{2} - 2) - 5 = -\frac{3}{2}x + 6 - 5 = -\frac{3}{2}x + 1$

2. $x$ を媒介変数 $t$ とすると、

$x = t$

$y = -\frac{3}{2}t + 1$

$z = \frac{1}{2}t - 2$

3. 直線の式を求めます。

$x = t$

$y - 1 = -\frac{3}{2}t$

$z + 2 = \frac{1}{2}t$

$t$ について解くと、

$t = x$

$t = -\frac{2}{3}(y - 1)$

$t = 2(z + 2)$

したがって、

$x = -\frac{2}{3}(y - 1) = 2(z + 2)$

$\frac{x}{2} = -\frac{1}{3}(y - 1) = z + 2$

$\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-3} = z + 2$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-3} = z + 2$