与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。ここでは、(1)と(3)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。ここでは、(1)と(3)を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

初項 $a = 40$、公比 $r = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$ の等比数列です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。

これに$a=40$、$r=\frac{1}{2}$ を代入すると、

$S_n = \frac{40(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{40(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 80(1-(\frac{1}{2})^n)$

$S_n = 80(1 - (\frac{1}{2})^n)$

(3)

初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列です。等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。これに $a=1$、$r=\frac{1}{3}$ を代入すると、

$S_n = \frac{1(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-(\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1-(\frac{1}{3})^n)$

$S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 80(1 - (\frac{1}{2})^n)$

(3) $S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$