実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示します。 (2) $f(x)$ はある実数 $r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_l, t_1, \dots, t_l$ を用いて $f(x) = (x - r_1)\dots(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)\dots(x^2 + s_lx + t_l)$ と因数分解できることを示します。

1. 問題の内容

実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示します。

(2) $f(x)$ はある実数 $r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_l, t_1, \dots, t_l$ を用いて $f(x) = (x - r_1)\dots(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)\dots(x^2 + s_lx + t_l)$ と因数分解できることを示します。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ を考えます。

$f(\alpha) = 0$ と仮定します。このとき、$f(\overline{\alpha})$ を計算します。

$f(\overline{\alpha}) = (\overline{\alpha})^n + a_{n-1}(\overline{\alpha})^{n-1} + \dots + a_1\overline{\alpha} + a_0$

ここで、複素数の共役の性質より、$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ と $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2}$ が成り立ちます。

また、$a_i$ は実数なので、$\overline{a_i} = a_i$ です。

したがって、

$\overline{f(\alpha)} = \overline{\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + a_1\alpha + a_0} = \overline{\alpha^n} + \overline{a_{n-1}\alpha^{n-1}} + \dots + \overline{a_1\alpha} + \overline{a_0}$

$= \overline{\alpha}^n + a_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1} + \dots + a_1\overline{\alpha} + a_0 = f(\overline{\alpha})$

$f(\alpha) = 0$ なので、$\overline{f(\alpha)} = \overline{0} = 0$

よって、$f(\overline{\alpha}) = 0$ となります。

(2)

代数学の基本定理より、$n$ 次多項式 $f(x)$ は複素数の範囲で $n$ 個の解を持ちます。

これらの解を $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ とすると、

$f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\dots(x - \alpha_n)$ と因数分解できます。

ここで、$f(x)$ の係数は実数なので、もし $\alpha$ が $f(x)$ の解ならば、$\overline{\alpha}$ も $f(x)$ の解となります。(1)より

したがって、$f(x)$ の解を実数解と複素数解に分けます。

実数解を $r_1, \dots, r_k$ とすると、$(x - r_1)\dots(x - r_k)$ は $f(x)$ の因数です。

次に、複素数解 $\alpha$ とその共役複素数 $\overline{\alpha}$ を考えます。

$(x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha}$

ここで、$\alpha = a + bi$ とすると、$\overline{\alpha} = a - bi$ なので、

$\alpha + \overline{\alpha} = 2a$ （実数）

$\alpha\overline{\alpha} = a^2 + b^2$ （実数）

したがって、$(x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 + sx + t$ の形になり、$s$ と $t$ は実数です。

このような2次式を $(x^2 + s_1x + t_1)\dots(x^2 + s_lx + t_l)$ とします。

ここで、$k + 2l = n$ となります。

以上より、$f(x) = (x - r_1)\dots(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)\dots(x^2 + s_lx + t_l)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ である。

(2) $f(x) = (x - r_1)\dots(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)\dots(x^2 + s_lx + t_l)$ と因数分解できる。