$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、$b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$のとき、以下の値を求めます。 (1) $a+b$と$ab$ (2) $a^2+b^2$と$a^2-b^2$

1. 問題の内容

$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、$b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$のとき、以下の値を求めます。

(1) $a+b$と$ab$

(2) $a^2+b^2$と$a^2-b^2$

2. 解き方の手順

(1)

$a+b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$

$ab = (\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})$

これは和と差の積なので、$(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

(2)

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$を利用します。

$a+b = 2\sqrt{6}$、$ab = 3$ より、

$a^2 + b^2 = (2\sqrt{6})^2 - 2(3) = 4 \times 6 - 6 = 24 - 6 = 18$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$を利用します。

$a+b = 2\sqrt{6}$

$a-b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

よって、

$a^2 - b^2 = (2\sqrt{6})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b = 2\sqrt{6}$、$ab = 3$

(2) $a^2+b^2 = 18$、$a^2-b^2 = 12\sqrt{2}$