3次方程式 $x^3 + 2x^2 + (m-1)x - m - 2 = 0$ の解がすべて実数であるとき、実数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 + (m-1)x - m - 2 = 0$ の解がすべて実数であるとき、実数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を因数分解することを試みます。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + 2(-1)^2 + (m-1)(-1) - m - 2 = -1 + 2 - m + 1 - m - 2 = -2m = 0$ となり、$m = 0$ のときに成立します。しかし、$m$ の範囲を求める問題なので、この事実は直接使いません。

$x=1$を代入すると、

$1 + 2 + (m-1) - m - 2 = 0$となり、常に成立します。

したがって、$x=1$ は与えられた方程式の解の一つです。

よって、$x - 1$ を因数にもつことがわかるので、元の式を $x - 1$ で割ります。

$x^3 + 2x^2 + (m-1)x - m - 2$ を $x - 1$ で割ると、商は $x^2 + 3x + m + 2$ となります。

したがって、

$x^3 + 2x^2 + (m-1)x - m - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + m + 2) = 0$

となります。

元の3次方程式の解がすべて実数であるためには、2次方程式 $x^2 + 3x + m + 2 = 0$ の解が実数であることが必要です。

そのため、この2次方程式の判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たす必要があります。

$D = 3^2 - 4(1)(m+2) = 9 - 4m - 8 = 1 - 4m \geq 0$

$1 - 4m \geq 0$ より、$4m \leq 1$ となり、$m \leq \frac{1}{4}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$m \leq \frac{1}{4}$