与えられた4つの3次式を因数定理を用いて因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$ (2) $x^3 + 7x^2 + 7x - 15$ (3) $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ (4) $x^3 - 4x^2 - 11x + 30$

1. 問題の内容

与えられた4つの3次式を因数定理を用いて因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$

(2) $x^3 + 7x^2 + 7x - 15$

(3) $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$

(4) $x^3 - 4x^2 - 11x + 30$

2. 解き方の手順

因数定理を用いる場合、まず与えられた式を$P(x)$とし、$P(a) = 0$となるような$a$を見つけます。$a$は定数項の約数であることが多いです。

$P(a) = 0$となる$a$が見つかれば、$P(x)$は$(x-a)$を因数に持つことになります。

次に、多項式$P(x)$を$(x-a)$で割ることで、$P(x) = (x-a)Q(x)$の形に変形します。ここで$Q(x)$は2次式です。

最後に、$Q(x)$を因数分解することで、元の3次式$P(x)$を完全に因数分解できます。

(1) $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$

$P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$

よって、$x-1$は因数です。

筆算または組み立て除法で割ると、$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x^2 - x - 2)$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

したがって、$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x-2)(x+1)$

(2) $P(x) = x^3 + 7x^2 + 7x - 15$

$P(1) = 1 + 7 + 7 - 15 = 0$

よって、$x-1$は因数です。

筆算または組み立て除法で割ると、$x^3 + 7x^2 + 7x - 15 = (x-1)(x^2 + 8x + 15)$

$x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$

したがって、$x^3 + 7x^2 + 7x - 15 = (x-1)(x+3)(x+5)$

(3) $P(x) = x^3 + 4x^2 - 15x - 18$

$P(-1) = -1 + 4 + 15 - 18 = 0$

よって、$x+1$は因数です。

筆算または組み立て除法で割ると、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x^2 + 3x - 18)$

$x^2 + 3x - 18 = (x+6)(x-3)$

したがって、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x+6)(x-3)$

(4) $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$

$P(2) = 8 - 16 - 22 + 30 = 0$

よって、$x-2$は因数です。

筆算または組み立て除法で割ると、$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x^2 - 2x - 15)$

$x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$

したがって、$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x-5)(x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-2)(x+1)$

(2) $(x-1)(x+3)(x+5)$

(3) $(x+1)(x+6)(x-3)$

(4) $(x-2)(x-5)(x+3)$