1から60までの自然数において、2の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとする。このとき、以下の値を求めよ。 (1) $60 \div 5$ (2) $n(A)$ (3) $n(B)$ (4) $n(\overline{A})$ (5) $n(\overline{B})$ (6) $n(A \cap B)$ (7) $n(A \cup B)$ (8) $n(\overline{A \cap B})$ (9) $n(A \cap \overline{B})$ (10) $n(\overline{A \cup B})$ (11) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

1から60までの自然数において、2の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとする。このとき、以下の値を求めよ。

(1) $60 \div 5$

(2) $n(A)$

(3) $n(B)$

(4) $n(\overline{A})$

(5) $n(\overline{B})$

(6) $n(A \cap B)$

(7) $n(A \cup B)$

(8) $n(\overline{A \cap B})$

(9) $n(A \cap \overline{B})$

(10) $n(\overline{A \cup B})$

(11) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $60 \div 5 = 12$

(2) 1から60までの自然数で、2の倍数の個数は $60 \div 2 = 30$ より、$n(A) = 30$

(3) 1から60までの自然数で、5の倍数の個数は $60 \div 5 = 12$ より、$n(B) = 12$

(4) $n(\overline{A})$ はAでないものの個数なので、$n(\overline{A}) = 60 - n(A) = 60 - 30 = 30$

(5) $n(\overline{B})$ はBでないものの個数なので、$n(\overline{B}) = 60 - n(B) = 60 - 12 = 48$

(6) $A \cap B$ は2の倍数かつ5の倍数なので、10の倍数の集合である。1から60までの自然数で、10の倍数の個数は $60 \div 10 = 6$ より、$n(A \cap B) = 6$

(7) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 12 - 6 = 36$

(8) $n(\overline{A \cap B}) = 60 - n(A \cap B) = 60 - 6 = 54$

(9) $n(A \cap \overline{B})$ は2の倍数だが5の倍数でないものの個数である。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 30 - 6 = 24$

(10) $n(\overline{A \cup B}) = 60 - n(A \cup B) = 60 - 36 = 24$

(11) $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ であるので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 24$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) 30

(3) 12

(4) 30

(5) 48

(6) 6

(7) 36

(8) 54

(9) 24

(10) 24

(11) 24