水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を求める問題です。電子の速度は $v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h}$ で与えられ、素電荷 $e = 1.602 \times 10^{-19}$ C、真空の誘電率 $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m、プランク定数 $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J・s を用います。

1. 問題の内容

水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を求める問題です。電子の速度は $v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h}$ で与えられ、素電荷 $e = 1.602 \times 10^{-19}$ C、真空の誘電率 $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m、プランク定数 $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J・s を用います。

2. 解き方の手順

与えられた数値を式に代入して計算します。

$v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h} = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (6.626 \times 10^{-34})}$

まず、分子を計算します。

$(1.602 \times 10^{-19})^2 = (1.602)^2 \times (10^{-19})^2 = 2.566404 \times 10^{-38}$

次に、分母を計算します。

$2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 6.626 \times 10^{-34} = 2 \times 8.854 \times 6.626 \times 10^{-12} \times 10^{-34} = 117.444248 \times 10^{-46} = 1.17444248 \times 10^{-44}$

最後に、速度 $v$ を計算します。

$v = \frac{2.566404 \times 10^{-38}}{1.17444248 \times 10^{-44}} = \frac{2.566404}{1.17444248} \times \frac{10^{-38}}{10^{-44}} = 2.1852 \times 10^{6}$

3. 最終的な答え

電子の速度 $v$ は、$2.1852 \times 10^6$ m/s です。

$v = 2.1852 \times 10^6 \text{ m/s}$