与えられた式 $ (a+b)(b+c)(c+a) + abc $ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式は、対称性を持つので、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ が $(a+b+c)$ という因数を持つことを予想できます。

そこで、式を $(a+b+c)$ で割ることを考えます。

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$ となることを確認します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$