$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

$a + c = 81$ より、$c = 81 - a$ である。これを $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$a^2 + b^2 = (81 - a)^2$

$a^2 + b^2 = 81^2 - 162a + a^2$

$b^2 = 81^2 - 162a$

$b^2 = 81(81 - 2a)$

$b^2 = 3^4 (81 - 2a)$

$b$ は整数なので、$81 - 2a$ は平方数である必要がある。また、$a$ は正の整数なので、$81 - 2a < 81$ である。$a+c=81$より、$a<81$である。$b$が正の整数であるためには、$81 - 2a > 0$である必要があるので、$2a<81$より、$a < 40.5$。

$81 - 2a$ が平方数となるような $a$ を探す。さらに、$81(81-2a)$が平方数となるので、$81-2a$は平方数でなければいけない。$81 = 9^2 = 3^4$より、$81-2a = k^2$とおくと、$k$は奇数でなければならない。$k = 1,3,5,7$を代入して、$a$が正の整数になるか確認する。

* $k = 1$ のとき、$81 - 2a = 1$ より $2a = 80$, $a = 40$。このとき、$c = 81 - 40 = 41$, $b^2 = 81$, $b = 9$。 $(a, b, c) = (40, 9, 41)$

* $k = 3$ のとき、$81 - 2a = 9$ より $2a = 72$, $a = 36$。このとき、$c = 81 - 36 = 45$, $b^2 = 81 \times 9 = 729$, $b = 27$。 $(a, b, c) = (36, 27, 45)$

* $k = 5$ のとき、$81 - 2a = 25$ より $2a = 56$, $a = 28$。このとき、$c = 81 - 28 = 53$, $b^2 = 81 \times 25 = 2025$, $b = 45$。 $(a, b, c) = (28, 45, 53)$

* $k = 7$ のとき、$81 - 2a = 49$ より $2a = 32$, $a = 16$。このとき、$c = 81 - 16 = 65$, $b^2 = 81 \times 49 = 3969$, $b = 63$。 $(a, b, c) = (16, 63, 65)$

* $k = 9$ のとき、$81 - 2a = 81$ より $2a = 0$, $a = 0$ となるため、$a$が正の整数という条件に反する。

したがって、条件を満たす正の整数の組み合わせは 4 通りである。

3. 最終的な答え

4通り