与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - a^2c - b^2a + c^2a + b^2c - c^2b = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - c^2b)$

ここで、$c^2 - b^2 = -(b^2 - c^2) = -(b-c)(b+c)$ および $b^2c - c^2b = bc(b-c)$ であることを利用して、式を書き換えます。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ をくくりだします。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

次に、括弧の中の二次式を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、元の式は次のように因数分解されます。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

あるいは、順序を整えて $- (a-b)(b-c)(c-a)$ とします。

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$